二零一二年，哥廷根的春天依旧如期而至，黎曼庄园内的菩提树萌发新绿，一派生机勃勃的景象。然而，与这万物复苏的盎然春意形成鲜明对比的，是笼罩在艾莎数学科学中心上空那层日益凝重、几乎令人窒息的焦虑阴云。自从2011年底成功将临界线零点比例提升至45%的辉煌胜利之后，学派上下士气高昂，所有人都坚信，最后的5%虽充满挑战，但凭借已然验证的强大框架和如虹的气势，必将在不久的将来被一举攻克。德利涅陛下甚至在内部会议上乐观地预估，最晚到2014年，或许就能看到50%的曙光。
然而，数学的真理之路，从不因人的乐观或意志而改变其固有的艰险。当学派的研究团队怀着必胜的信念，向45%到50%这最后一段看似短暂的征程发起全力冲刺时，他们愕然发现，自己仿佛闯入了一片无形的、充满粘滞阻力的泥沼，又像是迎面撞上了一堵看不见、却坚韧无比的弹性墙壁。前进的脚步，陡然变得异常沉重，直至最终，彻底停滞不前。
研究的停滞，并非源于努力不足或方向性错误，而是遭遇了深植于方法论内核的、本质性的巨大困难。两个核心的、相互关联的瓶颈浮出水面，如同两道从天而降的闸门，牢牢锁死了前进的道路。
第一个困难，是“离散误差的不可控性”的彻底爆发。
在45%之前的研究中，虽然中森晴子陛下早已预警过离散误差的问题，但其影响始终被强大的主项效应（由连续几何框架产生的主要趋势）所压制，表现为一些可以被精细技巧（如中森晴子团队发展的“微局部离散分析”工具）控制在一定范围内的、看似“无害”的波动。然而，当研究推进到45%以上，试图触及那些虚部更大、分布更“稀疏”、振荡更“剧烈”的高阶零点时，情况发生了根本性的变化。
负责误差分析与控制的团队，由几位精通渐近分析和硬分析的专家组成，他们首先报告了异常。团队负责人，一位以严谨和敏锐着称的瑞士数学家，在每周的进展汇报会上，指着投影屏幕上令人不安的图表，语气沉重地解释道：
“问题出在高阶迹公式 的本质上。它本质上是一种连续化的逼近工具。它将离散的零点分布问题，‘翻译’成了一个在某个无穷维流形（广义艾莎空间） 上关于连续谱 的积分问题。这种翻译，在零点分布‘整体’趋势的捕捉上是极其强大的，这也是我们之前成功的基础。”
他切换幻灯片，展示了一组复杂的误差函数图像，其中几条曲线在某个临界点后开始明显上扬。“但是，当我们要求这个连续模型去精确拟合零点分布中那些极其细微的、局部的、离散的‘跳跃’和‘关联’ 时，问题就出现了。这些离散效应，在连续积分的过程中，被平滑化了，但其残余影响 并没有消失，而是转化为了高阶余项 中的系统性误差。”
他放大图像的一个关键区域，语气近乎绝望：“更糟糕的是，我们的分析表明，随着我们针对的零点阶数增高（即虚部增大），这些由离散性本质导致的误差项，不仅不会衰减，反而呈现出某种发散的迹象！这就好比……”他努力寻找一个形象的比喻，“好比我们用一条非常光滑的橡胶膜去覆盖一个由无数极其尖锐的针尖组成的表面。橡胶膜可以大致勾勒出表面的轮廓（主项），但永远无法完美贴合每一个针尖的顶端。而且，针尖越细、越锋利（零点振荡越剧烈），橡胶膜无法贴合而产生的‘褶皱’和‘空隙’（误差）就越大，越难以控制。我们尝试了所有已知的积分近似技巧、光滑化方法、甚至是某种‘自适应网格细化’，但都无法从根本上消除这种源于离散与连续本质差异 的系统性偏差。”
这个结论让会场陷入一片沉寂。这意味着，当前依赖连续几何的“高阶迹公式”框架，可能存在一个理论上的精度上限。45%的结果，或许已经非常接近这个框架在当前数学工具下所能达到的极限。要继续推进，可能需要对框架进行根本性的改造，甚至引入全新的、能直接处理离散性的范式。
第二个困难，则更为深刻，直指整个几何化纲领的根基：“艾莎空间的低维缺口”。
在学派构建的宏伟的“万有流形”或“广义艾莎空间”的理论中，这个空间被设想为是高度对称、无穷维的，其上的几何和拓扑性质可以通过高阶不变量（如高阶上同调、特征类）来刻画，并由此通过某种“流形法”与L函数的零点分布 联系起来。这一框架在高维情形（对应L函数的高阶零点，即虚部很大的零点）下，由于“连续化”和“平均效应”的良好性质，表现得相当自洽和有效。
然而，当志村哲也陛下领导的代数几何小组，试图将这个框架精确地应用到那些虚部较小的、分布相对“低维”的零点（即更“基础”的零点）上时，一个致命的缺陷暴露了出来。
这章没有结束，请点击下一页继续阅读！