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第34章 兰恩的学习和研究

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这大半年,兰恩彻底忍住自己,不去看那些前沿期刊的做法,还是很有效的。

题海战术备战升学之余,他也在不停地补课。

兰恩的做法是,忍住不去接触前沿的东西,转而从一个点入手,抽丝剥茧,理一遍之前的脉络树。

勤奋和努力没有白费。

对于这篇《论数字计算在决断难题中的应用》,兰恩已经大致理解了它的思路,它的前因后果。代价是,他花在各种资料和文献上的时间,大大超出了他用在做题上的时间。

合上最后一本书,兰恩慢慢整理自己的思路。

“图灵机的原理只是附属,这篇论文最中心的思想还是解决可计算性问题。”

“而他对于可计算性的思索,本质上还是第三次数学危机的延伸。”

说到数学危机。

第一次数学危机,是产生于远古时代,那个魔法依然是神秘的魔法,奥术还远远不成系统,与魔法完全不分家的时代。

由于几何在当年的魔法阵和施法上的巨大作用,数学的意义首次被提高了。

有的魔法师学者们开始认为“万物皆数”,即:数学的知识是可靠的、准确的,而且可以应用于现实的世界,数学的知识由于纯粹的思维而获得,不需要观察、直觉和日常经验。

直到他们遇到了正五边形的问题。

在当时那个神秘学当道的时代,正三角形、五角星、六芒星、八角星是最常用的基础架构图形。直到有一个法师,发现五角星连成正五边形后,边与对角线的比无法用有理数表示。

然后他被束缚后,扔下了法师塔。

这次也被后世称作“无理数危机”。

当然,由于无理数的定义,这次危机在历经沧桑后最终解决。

由此带来的后果是积极的,法师们察觉,直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是最可靠的,从此法师们开始重视演译推理,并由此建立了几何公理体系。

这是巨大的进步和奠基作用,也深深地影响了以后奥术的出现。

第二次数学危机,则是在伟大的光荣时代,由大奥术师艾萨克和大奥术师莱布尼兹共同引发的。

想到莱布尼兹,兰恩又想到了莱布尼兹大奥术师的生平。

由于对艾伦·麦席森论文中,特意提到的莱布尼兹手稿感兴趣,兰恩特地去查了一点资料。

出生于目前神圣同盟的势力范围内,一个魔法世家的他,却深深地相信一切都可以用理性分析。然后他盯上了数学这项在法师间广为使用的基础工具,根据记载,他和艾萨克几乎同时,各自独立的发明了微积分。然后,他们的工作,建立的体系,深深地影响了后世至今。而且,他还涉猎广泛,在许多不同的领域都有傲人的成就。

他有一个传播很广但是上不了台面的观点:“我们的世界,或许不是创世神创造的最好的一个,但肯定属于最有意思的一批。”

对于这一点,兰恩比较以为然。

跑题了。

兰恩拉回思绪。

艾萨克和莱布尼兹引发的这项危机,正是由于他们的微积分。

在微积分大范围应用的同时,关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了法师和奥术师们长达一百多年的争论。这就是第二次数学危机,又名“无穷小危机”。

后来,是柯西和魏尔斯特拉斯等一批奥术师,通过对数学分析一系列基本概念的精确定义,以及对分析的算术化,逐步解决了这次危机,恢复了数学的结构。

这次危机的意义,一是加速了分析数学的发展,使其成为了庞大的体系;二是彻底解下了微积分甚至数学上面神秘的面纱,冲破了魔法的束缚,为数学的独立发展创造了条件,也让普通人有机会成为奥术师。比如兰恩所在的小学,颇有一些头脑超人,但是资质一般或家境一般的同学,在小学毕业后直接去奥术学院就读。

第三次数学危机,也就是目前魔法界和奥术界正在经历的这次,却是由于集合论的悖论产生的。

它像第一次危机那样,突然出现。

在一个位于奥法联邦,名叫伯特兰·阿瑟的奥术师研究集合的时候,忽然发现了悖论。

关于这个悖论的阐述,最着名的是“理发师问题”。

一个理发师宣布了这样一条原则:他给所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质:“理发师是否自己给自己刮脸?“如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么他就不符合他的原则。

这就是这次危机的核心问题。

危机爆发时,距离大奥术师庞加莱的宣称“数学的严格性,看来直到今天才可以说实现了”才刚刚过去两年,属于赤裸裸的打脸。

直到如今,危机仍然在蔓延。

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