以上基础对于本文较为重要。
首先简单介绍一下von-Neumann代数的分类，von-Neumann代数可以分为3类
最简单的一类是type I 的von-Neumann代数，通常的量子力学系统满足的是这一类代数。 作用于希尔伯特空间K上的所有有界算子（bounded operator）组成type I的von-Neumann代数。根据希尔伯特空间K的维数决定不同的冯诺依曼代数。例如如果K是有限维的，那么代数属于type IdI_{d} , 如果K是无穷维的，那么代数属于type I∞I_{\infty} . type I的冯诺依曼代数可以定义一个线性函数： a→Traa \to Tr a
满足交换性和非负性
Tr(ab)=Tr(ba),Tr(a?a)?0fora≠0Tr(ab)=Tr(ba), \quad Tr(a^{\dagger}a) \geqslant 0 \quad for \quad a eq 0
因此它是求迹运算，例如对应于有限维，可以把算符写成矩阵，求迹就是通常大家所熟悉的矩阵求迹。
通常考虑无穷维的情况，数学上可以构造更多非平庸的冯诺依曼代数。
首先来构造type II的代数，考虑如下的最大纠缠的EPR态
12(|↑?|↑?+|↓?|↓?)\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle |\downarrow\rangle)
一个简单的等价操作是不妨将其中一个变为左矢量空间，使得EPR态可以写为（省略了归一化因子 12\frac{1}{\sqrt{2}} )
（，）（，）(10)（1，0）+(01)（0，1）=(1001)\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) （1，0）+\left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) （0，1）=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0\\ 0 &1 \end{array} \right)
因此一个纠缠对可以通过一个2*2的矩阵来描述，作为一个基本的矢量空间。
其内积的定义为 ?v?,w?=Trv?w\langle v^{\dagger} ,w\rangle=Tr v^{\dagger}w , 再讨论其上的算符，算符有两种，分别是从左作用到线性空间上和从右作用到线性空间上， M2,M2′M_{2},M_{2}' , a∈M2,v→av,a′∈M2′,v→va′tra \in M_{2}, v \to av, \quad a'\in M_{2}', v\to v a'^{tr} , 其中tr表示转置。M和M‘相互对易。
更为清楚的表示是，V可以写成 V=W?W′V=W \otimes W' ， M作用于W空间，而M‘作用于W‘空间。 由上面的例子可以看出，对于最大纠缠的两体态，可以写为 I2′=I2/2I_{2}'=I_{2}/\sqrt{2} , 其中I是恒等矩阵，当然也可以写出更一般的矩阵，对应不同的两体纠缠，它们都对应V空间的态。
我们可以利用这个基本的矢量空间，构造无穷维的张量积结构
v1?v2?...?vk..∈V[1]?V[2]...?V[k]....v_{1}\otimes v_{2} \otimes ...\otimes v_{k}.. \in V^{[1]} \otimes V^{[2]}...\otimes V^{[k]}....
考虑其中除了有限个之外，其他的 vkv_{k} 都等于 I2′I_{2}' .
此时因为这个截断，我们可以定义希尔伯特空间的内积 ?v,ω?=Trv(n)?w(n)\langle v,\omega\rangle=Tr v_{(n)}^{\dagger}w_{(n)} .
注意到我们这里对于态空间做了一个限制，这个态空间的限制会导致作用在其上的算符也有一个限制。
对于相应的算符
a=a1?a2....?an?.....a=a_{1}\otimes a_{2}....\otimes a_{n} \otimes .....
也是必须要根据态空间的限制进行指定，即只有除了有限n个算符之外，其他 aa 都是恒等算符的时候，才是合理的算符空间。以上算符a（ A0\mathcal{A}_{0} ) 还不足以生成一个算符空间，因为它并不是闭（closed）的，要让其闭合，需要引入极限要求算符可以收敛，最后算符空间的定义为
本小章还未完，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！