有趣的事情发生下 1/N1/N 阶，此时根据对易关系
[HR′/N,a]=(?i/N)?ta[H_{R}'/N,a]=(-i/N)\partial_{t}a ，此时因为考虑 O(1/N)O(1/N) 的修正，所以哈密顿量不能简单的认同为U，而是也要考虑修正，好在此时的修正可以很容易的获得
1NHR′=U+1βNh^\frac{1}{N}H_{R}'=U+\frac{1}{\beta N} \hat{h}
其中 h^\hat{h} 是modular Hamiltonian， 它的定义如下
h^=∫SdΣνVμTμν\hat{h}=\int_{S} d\Sigma^{u}V^{\mu} T_{\muu}
它具有简单的边界对偶，因此也可以作为边界上的算符。
因此考虑原来的算符集合，加入 U+h^/βNU+\hat{h}/\beta N 算符之后的修正，此时因为这个算符与原算符 AR,0\mathcal{A}_{R,0} 不再对易，因此不会形成一个直积的结构, 实际上 U+h^/βNU+\hat{h}/\beta N 产生的是一个外自同态（outer automorphism) 的结构，所以实际上代数为 AR=Ar,0?AU+h^/βN\mathcal{A}_{R}=\mathcal{A}_{r,0} \rtimes \mathcal{A}_{U+\hat{h}/\beta N} .
外自同态(outer automorphism)的定义如下：
考虑一个 H\mathcal{H} 上的算符T， 如果 ?a∈A,s∈R\forall a \in \mathcal{A}, \quad s \in R , 都有
eiTsae?iTS∈Ae^{iT s}a e^{-iT S} \in \mathcal{A}
再考虑一个扩充的希尔伯特空间 H?L2(R)\mathcal{H} \otimes L^{2}(R) ,此时有一个更大的代数 A?R\mathcal{A} \rtimes R ，它的生成元为 a?1,eisT?eisXa \otimes 1, e^{is T}\otimes e^{is X} 或者是 aeisT?eisXae^{is T} \otimes e^{is X}
当T属于 A\mathcal{A} 的时候，生成的自同态叫做inner的，而当 TT 不属于 A\mathcal{A} 的时候，生成的自同态是outer的。
如果这个自同态结构是通过 h^\hat{h} 形成的，那么此时这个R叫做模自同态群，可以看出加入边界哈密顿量之后的single trace算符的代数结构就是上面讨论的这种数学构造。
一个数学定理说的是： 对于一个type III1III_{1} 的factor，它和其外模自同态群（outer automorhphism）形成的代数结构 AR=Ar,0?AU+h^/βN\mathcal{A}_{R}=\mathcal{A}_{r,0} \rtimes \mathcal{A}_{U+\hat{h}/\beta N} 是一个type II∞\mathrm{II}_{\infty} 的von Neumann代数。 它也是一个factor。
type II的代数和type III的代数的一个重要不同在于，type II代数具有求迹的结构，而type III代数没有。因此当代数转变为type II的时候，可以自然的定义一个子区域的求迹，进而定义密度矩阵和纠缠熵。
下面来探索，此时定义的求迹的表达式的形式：
考虑扩充的希尔伯特空间中的态 Ψ^=Ψ?g1/2(X)\hat{\Psi}=\Psi\otimes g^{1/2}(X) , 其中 Ψ\Psi 是关于代数 Ar,0\mathcal{A}_{r,0} 的一个cyclic-seperating的态，因为 g1/2g^{1/2} 是恒正的，因此 Ψ^\hat{\Psi} 也是一个cyclic-seperating的态。
对于 Ar,0\mathcal{A}_{r,0} 有一个modular 算符 ΔΨ\Delta_{\Psi} , 满足如下的关系
?Ψ|ab|Ψ?=?Ψ|bΔΨa|Ψ?\langle \Psi|ab|\Psi\rangle=\langle \Psi|b \Delta_{\Psi}a |\Psi\rangle
这章没有结束，请点击下一页继续阅读！