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本文常用量级绝对无穷部分构造6(玄宇宙V逻辑多元)

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这等价于#-生成。以后也用#-生成来称呼该公理。

#-生成意味着所有与V=L兼容的反射形式。如果0#存在,那么#-生成一致。因此,作者认为#-生成表达了最强的高度反射原理,因此可以合理地声称#-生成是表达V的高度最大化的最佳原则。

#-生成并不满足宽度完成主义:为了得到一个足以生成V的#-生成,我们必须要构造一个Rank小于Ord(V)的不属于V的集合。为了解决这个问题,引出了弱#-生成。

内模型假设(IMH, Inner Model Hypothesis):

·如果一个一阶句子在V的某个外模型中成立,那么它在V的某个内模型中也成立。

在这个版本的表述中,我们可以把外模型理解为一个包含V的、与V的序数相同的、满足ZFC的传递集合V* ,内模型是指一个V的可定义子类,其序数与V相同,并且满足ZFC。根据激进潜在主义,ZFC的任何传递模型在更大的这类模型中是可数的,由此我们可以推断出V的丰富的外模型的存在。

IMH是一个非常“魔怔”的模型,它的一致性可以从PD(投影决定性),也就是ω个Woodin基数得出;但如此强力的模型之内却并不含有不可达基数。

IMH不满足宽度完成主义,为了实现宽度完成主义,接下来会转移到V-逻辑上。

V-逻辑(V-logic):

V-逻辑具有以下的常元符号:

1.表示V的每一个集合a

2. Vˉ 表示宇宙全体集合容器V

在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则:

1.?b,b∈a,ψ(bˉ)??x∈aˉ,ψ(x)

2.?a,b∈V,ψ(aˉ)??x∈Vˉ,ψ(x)

作为宽度完成主义者,我们不能直接谈论外模型,甚至不能谈论不属于V的集合。然而,使用V-逻辑,我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论,我们不仅有表示V的元素的常元符号 aˉ 和表示V本身的常元符号 Vˉ ,而且还有一个常元符号 Wˉ 来表示V的 "外模型"。

类似于力迫法的发明路程,一个同时接受柏拉图主义和高度完成主义的人也会遇到类似的问题。

我们增加以下新公理。

1. 宇宙V是ZFC(或至少是KP,可接受性理论)的一个模型。

2. Wˉ 是ZFC的一个传递模型,包含 Vˉ 作为子集,并且与V有相同的序数。

因此,现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时,我们会得到一个模拟ZFC(或至少是KP)的宇宙,其中 Vˉ 被正确地解释为V, Wˉ 被解释为V的外模型。请注意,V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的,实际上它是在 V+=Lα(V) 内定义的。由于我们采用了高度(而不是宽度)潜在主义,后者又是有意义的。

最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式:

·假设P是一个一阶句子,上述理论连同公理“ Wˉ 满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。

最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”(即“外模型”),而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性,并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。

在可数模型上,宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。

最终,我们结合IMH和#-生成,便得到了满足激进潜在主义的宽度/高度最大化的形式系统。当然,理论上还能更进一步的增强这些公理。在这里将这些公理命名为H公理,它们展现了玄宇宙 H的最大化性质。

强内模型假设(SIMH, Strong IMH):

·SIMH(ω1) :带有一个绝对参数的句子如果在尊重这些参数的外模型中成立,那么在某个V可定义的内模型中也成立。

该公理同样可以使用PD获得一致性证明。

全知(Omniscient):

塔斯基真不可定义也可以改写成以下的定理:

在V中成立的带参数句子的集合在V中是不可被一阶定义的。

但V的外模型理论,OMT(V),是可以通过V-逻辑被 V+ 定义的。甚至于存在许多V,OMT(V)是在V上是一阶可定义的。这样的V被称之为全知。

拉姆齐基数可以给出“ Vκ[G] 是全知的模型”的一致性。“V是全知的”和#-生成之间配合得相当好。

玄宇宙计划的可能推论(未被证明一致):

弱#-生成:

·预-#是一个结构(N, U),其中U在最大基数k上测度了N的子集,并且对于任意序数α,(N, U)的α步超幂迭代依旧是良基的。

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