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死亡法庭灭霸

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本文常用量级绝对无穷部分构造6(玄宇宙V逻辑多元)

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·如果对于超过V的高度的每一个序数α,表达存在一个生成V的α-可迭代的预-#的理论 Tα 是一致的,那么V就是弱#-生成的。

双参数强内模型假设 SIMH(ω1,ω2):

·带有两个绝对参数的句子如果在尊重这些参数的外模型中成立,那么在某个V可定义的内模型中也成立。

这个公理直接给出连续统的否定。

基数绝对性:

·设p是V中的一个参数,P是V中的参数集。

将p称之为对P强绝对的,如果存在带有参数集P的在V上定义的公式 ψ ,在V的所有#-生成的外模型上的基数都保持,包括 ψ 中提到的参数的遗传基数。

Definition 16. Let p be a parameter in V and P a set of parameters in V . Then p is strongly absolute relative to P if there is a formula ? with parameters from P that defines p in V and all #-generated outer models of V which preserve cardinals up to and including the hereditary cardinality of the parameters mentioned in ?.

基数最大化 CardMax(κ+):

·κ是无限基数。如果序数 α 对 κ 的子集是强绝对的,那么 α 的基数最多为 κ .

可以证明,如果κ是正则基数,那么就有一个集合力迫,其中 CardMax(κ+) 成立。但对于任意基数则尚不明确。

M-基数越轨(M-cardinal Violation):

存在一个内模型M,对于一切基数 κ , κ+ 大于M的 κ+ 。

HOD-基数越轨是一致的。 κ+ 在HOD中是不可达的基数越轨还不能清楚是否一致。

基数绝对参数强内模型假设:

SIMH(CP),CPSIMH

·带有一个基数绝对参数的句子如果在基数绝对外模型中成立,那么在某个V可定义的内模型中也成立。

宽度反射原理(WR, Width Reflection):

我们可以仿照#-生成的成功来开发“宽度不可辨认性”。

j是可调和的,如果 j?(Vβ)V0 对于 ?β:ordinal,β∈V

对于任意序数α,存在非平凡初等嵌入,

j:V0→V,crit(j)<α 并且j是可调和的

WR相对于拉姆齐基数的存在性是一致的。WR可以轻易的拓展到任意有限链 V0<V1<...<Vn ,但要实现无限链是困难的。要实现宽度不可辨认性,我们希望链长度达到Ord+1.

——————————

【总结陈词】

带有*的理论可以证明CH不成立。

玄宇宙计划是目前依旧活跃的关于集合论哲学的研究计划。通过允许“Ord + 1”之类的对象在理论中被使用,简单粗暴的解决了高度潜在主义者的需求。而类-IMH公理所提供的外模型~性质内模型化也解决了宽度潜在主义者的需求。宽度完成主义虽然更易被理解,但更难被一致地刻画出来。最后,本论文探讨了基数最大化的候选公理,以及在脱离HOD猜想的真值下将类-IMH公理一阶化的可能性(Omniscient)。

【举一反三】

虽然笔记作者并不是很接受这系列论文集合论哲学说书,但是毫无疑问的基数最大化和宽度最大化本身是很有研究意义的;IMH本身也非常有趣。

值得注意的是,玄宇宙计划的主要纲领和类型论哲学是可以产生对应的:

·数学实践的丰富性:构造主义类型论需要死守canonicity,似乎注定了不会过于丰富。但即使不考虑Harvey Friedman's grand conjecture这种东西,“所有证明的规约都必须有一个绝对的有穷长度的停机的结果”似乎是一个对于所有数学家显然和必然的要求。

·数学实践的基础需求:如前所注,类型论可通达范畴论进而通达布尔巴基,也可通达一切可计算数学,一切数学的证明自动检验(形式化)和整个计算机科学,构造主义类型论在基础需求上完胜。

·数学的真理论,和数学的最大化:对于真理论,构造主义类型论自然还是完胜。类型论哲学不关心最大化,但我们可以进一步的讨论。

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