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死亡法庭灭霸

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【世界基数】

定义:一个基数 k 是 worldly cardin al ,如果 Vk = ZFC .

我并不知道这个基数是谁提出的,这里只是做出一些解释。下面的结果应该都是已知的,但是我没有去找参考文献。我们用 WC 表示 workdly cardinal 。下面的命题是显然的。

命题1:ZFC+3 WCH Con ( ZFC + Co n ( ZFC )).

由 Godel 不完备性, ZFC + Con ( ZF C )不能证明3WC.同样 Con ( ZFC +3 WC )也不是 ZFC + Con ( ZFC )能证明的。

我们用 I 表示不可达基数。显然每一

个不可达基数都是 WC ,因此:

命题2:ZFC+3I3WC.

但是最小的 WC 严格小于最小的 l 。命题3:如果 k 是不可达的,则存在世界基数入& amp ; amp ; It ; k 。

证明:假定 k 不可达,有 Skolem 定理(及其构造方法),存在可数模型 MO < Vk 以及n0 amp ; lt ; k 使得M0EVn0。一般地,对于任意 i , Mi < Vk 以及 ni amp ; lt ; k 使得 MiEVni ,存在模型 Mi +1EVni+1使得 Mi +1< Vk 并且 Vni CMi +1。

令入= Uini amp ; lt ; k 。显然 Vi ( Mi < Mi +1)。因而有模型论基本知识, U iMi < Vk 。有构造,我们知道 V 入= UiMi 。因此 V 入< Vk 从而是 ZFC 的模型。因而入是 WC

由命题3,我们有以下推论:

推论3.1:ZFC+3 II Con ( ZFC +3 W

C ).

因此 WC 的协调性强度是严格弱于不可达基数的。由命题3的证明,我们可以推断最小的世界基数具有共尾性ω。

还有人提及以下定义:

定义2:一个序数 a 是可扩的,如果存在 p amp ; gt ; a 使得 Va < VB 。

我们用 EC 表示可扩基数。显然命题

3中的入就是可扩的。并且可以构造在 k 下另外一个入' amp ; gt ;入使得 V 入< V 入'< Vk .@ ZS Chen 在评论里提到了 Joel Hamkins 给了关于可扩基数的比较完整的描述( The otherwordly cardinals )。其中下面这个定理澄清了 EC 的强度

定理1( Hamkins ): ECS WC ,并且每一个 EC 下面都有一个 WC 严格小于它.

注意虽然不可达基数的强度要严格高于存在 EC 的协调性,但是 I EC .例如最小的不可达基数不属于 EC。

【ZFC 公理宇宙】

1.不可达基数

可数,不可数,后继,极限,正则,奇异。

不可达基数就是指不可数正规的强极限基数,如果是不可数正规的极限基数,则称之为弱不可达基数。可数就是指小于等于阿列夫零的基数。反之不可数就是指大于阿列夫零的基数。后继,就是指比它小的基数中有最大值,极限就是指比它小的基数中没有最大值,强极限就是比它小的任意基数中,2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身,也就是若 k 是正则基数,则不存在小于 k 个小于 k 的集组之并的基数为 k ,或者说不存在小于 k 个严格递增的序列,其极限为 k 。奇异就是到达它的最短长度小于本身。对于基数 k ,存在小于 k 的严格递增的序列的极限为 k ,则 k 为奇异基数。正规和奇异基数引入了共尾度的概念,共尾度就是到达它的最短长度。后继序数的共尾度是1。正则基数就是 cf ( k )= k ,奇异基数就是 cf ( k ) amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k .

不可达基数 k 就是对任意小于 k 的基数,取幂集的基数仍然小于 k 并且由任意小于 k 个小于 k 的集组之并的基数仍然小于 k 。而对比弱不可达基数只要满足& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的任意基数的后继仍然& amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; k 就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。

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