举个例子： cf (1)=1, cf （任意有限数）=1, cf ( w )= w , cf ( w _1)= w _1（不存在长度是 w 的序列，因为小于 w _1的基数是可数的，但可数个可数集之并（也就是它们的上确界）可数，不可能是 w _1)。 cf ( W _ w )= w （长度 w 的序列取 w , w _1, w _
2,w3,......)。
对于极限序数，有 cf ( a )= cf ( w _ a ),所以对于不可达基数 k , k = w _ k ，但是，这样的奇异不动点非常多。比如说 a 是任意的基数，然后设序数列 w _ a , w _( w _ a ),.....．设 k 是它们的确界，很显然容易证明 k = w _ k ，但是很遗憾，这基数仍然还是奇异基数，并且它的共尾度是 w 。
好了。以下基数的性质。
0，可数，正规，强极限。1，可数，正规，后继。2，可数，非正规，后继。 w ，可数，正规，强极限。 w _
1，不可数，正规，后继。 w _2，不可数，正规，后继。 w _ w ，不可数，非正规，极限。 w _( w +1)，不可数，正规，后继。 w _( w _1)，不可数，非正规，极限。阿列夫不动点，不可数，非正规，极限。
很显然，用替代公理模式获取的基数，三个条件都不能同时满足，所以都不是不可达基数。不过，在大于 w 的基数中，正规极限的基数则就是不可达基数。也可以说，从阿列夫零到不可达基数其概念意义上的距离，跟从0到阿列夫零是一样的。
有了替代公理模式，你可以构造类似 omega - fixed - point ={ xEwlf (0)= w , f ( x )= w _ f ( x -1)｝的集合，通过更大的 f 就能获取更大的基数。但是，很显然，由替代公理所迭代获取出来的基数，全部都是奇异基数，其 xE 的那个数就是它的共尾度或者是共尾度比这个数还小，哪怕再大，均不符合 cf ( k )= k 的条件。因此不可能抵达不可达基数。
不可达基数本身也是阿列夫数，同时也都是不可达的阿列夫不动点，贝斯不动点，极限基数（因为对于后继基数阿列夫（ a +1) amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;=2^阿列夫 a ，不符合强极限的定义）。同时不存在一个（ xE ( amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k ) lf ( x ) amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k )的集合，使得其上确界为 k 。
还可以更抽象的理解不可达基数，假如连续统假设成立。则2^阿列夫零＝阿列夫一，2^阿列夫一＝阿列夫二．.....你可以这样迭代下去，你能得到阿列夫（阿列夫（阿列夫一）)，阿列夫（阿列夫（阿列夫（阿列夫．.....)))，你所想象到的迭代，无论是多么的变态，你都不可能迭代出不可达基数。因为不可达基数是正则基数，不可能从下至上抵达它。举个例子，有限的数，它们经过任意有限次迭代，都不可能到达无穷大，只能用∞这个符号表示，同样，∞（指小基数）,哪怕它们经过任意8次迭代，也不可能到达不可达基数。
你取到 k 之后，那么 k 和2^ k 都是正则的大基数，继续对 k 替代公理模式以及对 k 取幂集，仍然不可达的就是第二个不可达基数。
2．马洛基数
一个无穷基数 k 是马洛基数（ Mahlo cardinal ）当且仅当 k 是一个不可达基数并且是“正则基数”。
{ A amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是正则基数｝是 k 上的平稳集［1]。如果 k 是马洛基数，则是“不可达基数”。
{1 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是不可达基数｝是 k 上的平稳集，因此 k 是第 k 个不可达基数。
这章没有结束，请点击下一页继续阅读！