征服三角函数公式混淆的战役，其意义远不止于记住了一堆sin、cos的变换规则。对凌凡而言，那更像是一次思维的“诺曼底登陆”，是一次从被动接收、模仿例题的“滩头阵地”，向主动应用、甚至初步改造知识来解决问题的“内陆纵深”发起的战略性突破。
他不再满足于只是准确地复现课本上的解题步骤——那种“模仿”阶段，虽然必要，但总让他感觉像是在思维的脚手架上跳舞，小心翼翼，却无法真正触摸到数学天空的穹顶。他知道，真正的数学能力，体现在面对那些披着陌生外衣、需要你自行选择并组合工具的新问题上。
机会很快来了。周五的数学课，讲完了最后一类基础题型，黑板上出现了一道老师称之为“课后思考题”的附加题。大部分同学只是抬头看了一眼，便低下头继续刷自己的练习册——这种明显超纲的题目，不属于他们的得分范围。
但凌凡的眼睛却瞬间亮了。
题目如下：【已知函数 f(x) = sin2x + √3 sinx cosx + 2cos2x。求f(x)的单调递增区间。】
没有熟悉的例题模板可以套用。sin2x，cos2x，sinxcosx……这些项像一堆散乱的积木，堆在那里，等待着有人能看出它们内在的组合规律。
教室里很安静，只有笔尖划过纸张的沙沙声。凌凡却仿佛能听到自己大脑齿轮开始加速咬合的轻微嗡鸣声。这是一种陌生的、却令人兴奋的挑战感。
他首先尝试了最直接的思路：求导。f(x) = 2sinxcosx + √3 (cos2x - sin2x) - 4cosxsinx。整理得 f(x) = -2sinxcosx + √3 cos2x。 (因为cos2x - sin2x = cos2x)
然后呢？f(x) ＞ 0 求单调增区间？这个表达式看起来依然复杂，涉及sin2x和cos2x（因为-2sinxcosx = -sin2x），处理起来并不轻松。他卡壳了。
“直接求导，计算量太大，容易出错，不是最优解。”他立刻做出判断，放弃了这条蛮干的路。这本身就是一种进步——以前的凌凡，只会沿着一条路走到黑，或者直接放弃。
他盯着原式：sin2x, √3 sinx cosx, 2cos2x。这些二次齐次式，让他隐隐感到一丝熟悉。像什么呢？
忽然，一个火花闪过脑海！“化一公式”？ 不对，化一公式是针对asinx+bcosx的。那这个呢？这看起来像是……像是某个东西的展开形式？
他尝试着反向思考。如果把它看作一个关于sinx和cosx的二次型呢？或者，能不能把它配成一个完全平方式？
他在草稿纸上写下：sin2x + 2cos2x + √3 sinx cosx = (sin2x + cos2x) + cos2x + √3 sinx cosx = 1 + cos2x + √3 sinx cosx
还是复杂。等等！√3 sinx cosx 和 cos2x…… 他猛地想起刚刚死磕下来的三角函数公式！“二次正弦公式”？ sin2x = 2sinxcosx，所以 sinxcosx = (1/2) sin2x。“降幂公式”？ cos2x = (1+cos2x)/2！
破局的曙光骤然降临！
他立刻动笔，重新书写： f(x)= sin2x + √3 sinx cosx + 2cos2x =(sin2x + cos2x) + cos2x + √3 sinx cosx // 拆项 =1 + [(1+cos2x)/2] + √3 * [(1/2) sin2x] // 代入公式 =1 + 1/2 + (1/2)cos2x + (√3/2) sin2x =3/2 + (1/2)cos2x + (√3/2) sin2x
写到这一步，他几乎要欢呼出来！式子变成了一个常数项加上一个单一的正弦型函数（虽然是cos和sin的组合）！这熟悉的结构，正是“化一公式”的用武之地！
他强压住激动，继续推导： f(x)= 3/2 + √[(1/2)2 + (√3/2)2] * sin(2x + φ) // 提取系数，合成正弦 其中，辅助角φ由 cosφ= (√3/2) / 1 = √3/2, sinφ = (1/2) / 1 = 1/2。 所以 φ = π/6。 因此，f(x)= 3/2 + 1 * sin(2x + π/6) 即：f(x) = 3/2 + sin(2x + π/6)
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