2.k是极限基数
假设 k 是后继基数，则存在入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，使得2入≥ K 。
在字母表中添加常元符号｛ ca : a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入｝ U {da0:a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; t ;?} U {da1:a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; lt ;)}
并定义语句集
T ={^ d amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入[( ca =da0Vca=da0)Ada0≠da1]} U { pf :fE21}
其中∧ a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; X [( ca =da0Vca=da0) A da0≠da1］可以直观理解为定义了一个2入中的01序列 f *，中 f 则是使用 f 定义的形如 Va a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ;\ ca * daf ( a ）的语句，其为真就意味着必有一项 ca 不同于 f 在 a 处的得值，即 f *≠ f 。显然， T 是不一致的。但对于 T 的基数＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; k 的子集∑，由于区＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; ITI ，从而总能存在gE2入但中 g ≠∑,令 f *= g 即可满足
3.k是巨大马洛基数
已知 k 是不可达基数，故| Vkl = k ，对任一 UCVk ，扩充语言 Lkku ，其中含有谓词符号 u ( x ）被解释为 U ，再在其字母表中添加常元符号 c ，定义语句集 T ={ p ELKKu :( VK , E , U )=ф} U {ф a ( x ) Ax amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; c : o amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k }，其中中 a ( x ）是对序数 a 的定义，即对任意 a amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 均有（ Vk , E )=ゆ a ( a )。由于 T基数＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的子集∑都以（ Vk , E , U ）为模型，故 T 也存在模型（ M , E , U *)。由于（ Vk , E )=-3 n amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; wxn ( xn +1 Exn ), E 是 M 上的良基关系，由坍塌定理可得（ M , E , U *）又由于 Vk 的每个元素均可定义，{ oELkku :( Vk , E , U )= o ｝作为一个完备理论被（ M , E , U *）满足，就存在（ Vk , E , U ）到（ M , E , U *)的初等嵌入使得（ VK , E , U ）是（ M , E , U *）的初等子模型。
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