设 U 为无界闭集，由于 UCU *，根据定义 sup ( UN k )= K 可得 KEU *，而（ M , E , U *)= u ( k ）蕴含（ M , E , U *)=3хф(х)л u (х)( V к,е, U )=3хф(х)л u ( x )，其中中（ x ）为一可由某一（ M , E , U *)见证的 k 所具有的性质。
4.k是门11﹣不可描述基数
由3．可知对任﹣ UCVk ，均存在初等嵌入使得（ Vk , E , U ）是（ M , E , U *)的初等子模型，扩充语言 Lkku 中的语句等价于以 U 为参数的语句，而 Vk 上的N11语句等价于 Vk +1上的N10语句，形如 VXEVK +1p( X ) Vk ，其中 p ( X ) Vk 是量词辖域为 Vk 的一阶语句，其成立取决于 Vk 和 U 中是否存在这样或那样的元素，由于 VkCM , Vk = VkM ,, p ( X ) VK ( M , E , U *)= o ( X ) Vk 。又由于 Vk +
1MCVk+1，假设 VXEVk +1p( X ) Vk 但( M , E , U *)=- VXEVk +1p( X ) Vk 即（ M , E , U *)=3XEVk+1- p ( X ) Vk 就与假设矛盾。故对于 Vk 上的N11语句中中 M ，并且若（ Vk , E , U )＝中则（ M , E , U *）满足存在 a ,( Va , E , VaNU *)=中，( Vk , E , U ）就也满足存在 a ,( V a , E , VaNU *)=ф.
5．可测基数
问题：一个不可数基数 k 是可测基数（ measurable cardinal ）当且仅当 k 上存在 k ﹣完全的非主超滤。证明任何可测基数都是不可达基数（ inaccessible c ardinal )，即，都是正则且强极限的。
首先证明正则性。若 k 是奇异的，即 cf ( k ) amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。则可以取一个 k 的递增的共尾序列（ ay amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kly amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ))，使
supy amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) ay = Uy amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) a y = K
取 k 上的一个 k ﹣完全的非主超滤 U ，则 U 是均匀超滤，从而每个 ayEU ,即 k - ayEU ，于是：
UDny amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k )( k - ay )= k - Uy amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) ay =0
这与 U 的滤子的定义产生了矛盾。再来证明强极限。也即证明任何入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k ，有2入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。现用反证法，反设存在某个入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 使得2入 zk 。那么可以取2入＝{ flf ：入→＞2｝的一个子集 S 使得| SI = K 。并且按题意可以取 S 上的一个 k ﹣完全的非主超滤 U 。现在对于每个 a a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;入，如果 Oa :={ fES | f ( a )=0} EU ，则令 X a = Oa , ca =0；否则，我们有 la :={ fES f ( a )=1} EU ，这时我们令 Xa = la ，且 sa =1。现在，我们定义了 U 上的一个长度为入的序列＜ XaEUla amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入＞，因为 U 是 k ﹣完全的，所以 Na amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;\ XaEU ，但是，我们可以证明∩ a amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入 Xa 中最多只有一个元素，因为任何 fENa amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;) Xa ，都有 f ( a )= ea , Va amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入。这样∩ a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入 Xa ∈ U ，这就引出了一对矛盾。
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