后话：看到有人不太理解强极限的证明。其实我们的目的很简单，就是希望对每个 a amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ；入，定义一个集合 XaE U ，和一个数 eaE {0,1}。而它们的值究竟什么，则取于｛ fES | f ( a )=0｝和｛ f ∈ s | f ( a )=1｝哪一个属于 U ，如果前者属于 U ，则定义 Xa ={ fES | f ( a )=0}，且 ea =0；如果后者属于 U ，则定义 Xa ={ fES f ( a )=1}，且 sa =1。因为 U 是超滤，可知这种定义是合理的。
强紧致基数
当且仅当每个 k ﹣完全滤波器都可以扩展为 k ﹣完全超滤器时，基数 k 是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数 k 的逻辑是通过要求每个运算符的操作数量小于 k 来定义的；那么 k 是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于 k 的某个子集合中得出。
强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与 ZFC 一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。
强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。
可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
强可展开基数
形式上，基数 k 是入不可折叠的，当且仅当对于 ZFC 负幂集的每个基数 k 的传递模型 M ，使得 k 在 M 中并且 M 包含其所有长度小于 k 的序列，有一个将 M 的非平凡初等嵌入 j 到传递模型中，其中 j 的临一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数入都是入可展开的。
基数 K 是强入不可折叠的，当且仅当对于 ZFC 负幂集的每个基数 k 的传递模型 M 使得 K 在 M 中并且 M 包含其所有长度小于 k 的序列，有一个非﹣将 M 的 j 简单基本嵌入到传递模型" N "中，其中 j 的临界点为 k , j ( k )≥入，并且 V （入）是 N 的子集。不失一般性，我们也可以要求 N 包含其所有长度为入的序列。
【V=终极L】
见证 ω - 武丁基数的那个核心模型被指控使用了力迫，因而不是典范的(canonical inner model)。
见证武丁基数的武丁极限的那个核心模型同样被指控使用了力迫，并且原文是：
We extend the construction of Mitchell and Steel (Fine Structure and Iteration Trees, Lecture Notes in Logic, vol. 3, Springer, Berlin, 1994) to produce iterable 5ne structure models which may contain Woodin limits of Woodin cardinals, and more. The precise level reached is that of a cardinal which is both a Woodin cardinal and a limit of cardinals strong past it.
也就是其实比武丁基数的武丁极限要强得多（是强极限），然而很多论文都只引用前者……
这包含了以下条款：
0. 见证 a 是武丁基数
见证 a 是武丁基数并是一个对全体武丁基数之极限
见证 a 是武丁基数并是一个对满足(1)的全体基数之极限
...
γ. 见证 a 是武丁基数并是一个对满足 (＜γ) 的全体基数之极限
...
a. 见证 a 是武丁基数并是一个满足一切 (γ＜λ) 的全体 λ 基数之极限
另一方面该内模型见证cUBH(弱唯一分支假设)成立，并见证 ?a 对一切基数 a 成立
而
如果某个内模型见证一个基数 a 是 Π12 - 亚紧致基数存在则UBH(唯一分支假设)成立并破坏 ?a。
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