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死亡法庭灭霸

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本文常用量级绝对无穷部分构造(补充)

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如果某个内模型见证PFA成立(proper forcing axiom)也见证 Π12 - 亚紧致基数。

因而该内模型确实仅略低于并明确低于亚紧致基数,并且是内模型计划关于PFA这个子目标的最好结果。

【冯·诺依曼宇宙V】

起初,无穷公理断言了 V 中存在下列冯诺依曼序数

?{} :被当做 0,因为没有东西∈{}

?{{}}:被当做1,因为只有0∈{0},1也仅大于0

?{{},{{}}}:被当做2,因为只有0,1∈{0,1},2也仅大于0和1

?{{},{{}},{{},{{}}}}:被当做3,因为只有0,1,2∈{0,1,2},3也仅大于0和1和2

?可以看出,被称作冯诺依曼序数的集合,是在以∈关系模拟数字之间的<关系,n+1就是简单的把n的元素和n一起放到一个集合里。这样一来自然数集就天然的成为了一个无限序数ω,ω+1也能很自然的得到——怎么得到?

?有了 0,1,2,3,……,ω 之后,V 中的东西都可以通过五种简单操作/构造得到

?零、外延公理:对任意x和y,x=y 的情况是指 x 和 y 互为子集,即 x 的元素都是 y 的元素,并且 y 的元素都是 x 的元素。也就是说,{1,1}={1},表达了任何对象都是唯一的。

?一、对集公理:任取x和y,都会存在 {x,y}。这里需要注意的是,{x,y}={y,x},这里x和y是没有先后次序,而我们想要x和y次序区别可以这样做,{x,{y}} 和 {{x},y} 就是两种集合。由对集公理,若所取的x,z相等,则可得{x,z}={x},这样对于存在 {x}和y,就可以再由对集公理得到 {{x},y},这样的集合也被称作有序对,记作 <x,y>。而由有序对构成的集合就是 V 中的‘函数’,因为 f(x)=y 这件事可以用 <x,y> 表示,简单明了。其中 x 构成的集合被称为 f 的定义域,y 构成的集合被称作 f 的值域。

?二、并集公理:对任意x,都存在y,使得对于每个z∈x,z的元素都是y的元素,y就是由x的元素的元素构成的集合,记作∪x=y。初学者容易搞错的一点是,{1,2}包含了1,1又包含了0,但0并不是{1,2}的元素。比如 {?n:n∈ω}这个由阿列夫n构成的集合只含有ω个元素,只有通过并集公理,你才可以得到里面的阿列夫n含有的不可数个序数构成的集合。

?三、幂集公理:对任意x,都存在y,使得对任意z,若 z 的元素都是 x 的元素,则 z∈y。

?四、选择公理:对任意x,x≠{}并且{}?x 蕴含存在 f,使得对任意y∈x,都存在<y,z>,<y,z>∈f 并且 z∈y。它直观的表达出这样一件事:对任意x中的元素y,你都能将y中的一个元素挑出来,哪怕x是无穷集。

?而其更加直观的含义是:每个集合都有基数。在这个前提下下面一条就会变得通用

?五:对任意序数a,a个集合都能构成一个集合。属于是爆杀了对集公理。

?五代替不了幂集公理,因为得不到下一个无穷基数。也代替不了并集公理,在你刚得到 {?n:n∈ω} 的情况下,任意序数都会被一个足够大的阿列夫n大于,现存的所有序数都在阿列夫ω中,你要得到它就需要用阿列夫ω本身,并集公理却可以让你根据 {?n:n∈ω} 就能得到阿列夫ω。

?以 0,1,2,3,……,ω 为起点,V 中的所有集合都可以根据这4条原则揭示出来。

?集合论宇宙就是这么简单。

要得到 ω+1 ={0,1,2,3,……,ω},并不能直接运用【五】说 ω+1 个元素即 0,1,2,3,……,ω 构成一个集合,此时 ω+1 还不存在。

而是利用对集公理,先得到 {ω},再得到 {ω,{ω}},然后用并集公理就是 ω+1 了。以此类推。

五:对任意序数a,a个集合都能构成一个集合。这里的a个集合严格的说是一个由集合构成的a长的序列。序列在集宇宙中就是一个以序数为定义域的双射函数,我们可以很自然的从中获取值域中的集合有被良好排序这一信息。

比如 f(0)=毛毛虫,f(1)=星星,f(2)=铅笔,f(3)=乞丐,…… f 就像是为这些乱七八糟的事物标上了序号一样,形成一种排序。我们也可以用这种方式重新定义有序对,甚至推广。

通常用 <S_b:b∈a> 表示一个 a 长的序列: S_0,S_1,……

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