如果某个内模型见证PFA成立(proper forcing axiom)也见证 Π12 - 亚紧致基数。
因而该内模型确实仅略低于并明确低于亚紧致基数，并且是内模型计划关于PFA这个子目标的最好结果。
【冯·诺依曼宇宙V】
起初，无穷公理断言了 V 中存在下列冯诺依曼序数
?{} ：被当做 0，因为没有东西∈{}
?{{}}：被当做1，因为只有0∈{0}，1也仅大于0
?{{}，{{}}}：被当做2，因为只有0,1∈{0,1}，2也仅大于0和1
?{{}，{{}}，{{},{{}}}}：被当做3，因为只有0,1,2∈{0,1,2}，3也仅大于0和1和2
?可以看出，被称作冯诺依曼序数的集合，是在以∈关系模拟数字之间的＜关系，n+1就是简单的把n的元素和n一起放到一个集合里。这样一来自然数集就天然的成为了一个无限序数ω，ω+1也能很自然的得到——怎么得到？
?有了 0,1,2,3,……,ω 之后，V 中的东西都可以通过五种简单操作/构造得到
?零、外延公理：对任意x和y，x=y 的情况是指 x 和 y 互为子集，即 x 的元素都是 y 的元素，并且 y 的元素都是 x 的元素。也就是说，{1,1}={1}，表达了任何对象都是唯一的。
?一、对集公理：任取x和y，都会存在 {x,y}。这里需要注意的是，{x,y}={y,x}，这里x和y是没有先后次序，而我们想要x和y次序区别可以这样做，{x,{y}} 和 {{x},y} 就是两种集合。由对集公理，若所取的x,z相等，则可得{x,z}={x}，这样对于存在 {x}和y，就可以再由对集公理得到 {{x},y}，这样的集合也被称作有序对，记作 ＜x,y＞。而由有序对构成的集合就是 V 中的‘函数’，因为 f(x)=y 这件事可以用 ＜x,y＞ 表示，简单明了。其中 x 构成的集合被称为 f 的定义域，y 构成的集合被称作 f 的值域。
?二、并集公理：对任意x，都存在y，使得对于每个z∈x，z的元素都是y的元素，y就是由x的元素的元素构成的集合，记作∪x=y。初学者容易搞错的一点是，{1,2}包含了1，1又包含了0，但0并不是{1,2}的元素。比如 {?n：n∈ω}这个由阿列夫n构成的集合只含有ω个元素，只有通过并集公理，你才可以得到里面的阿列夫n含有的不可数个序数构成的集合。
?三、幂集公理：对任意x，都存在y，使得对任意z，若 z 的元素都是 x 的元素，则 z∈y。
?四、选择公理：对任意x，x≠{}并且{}?x 蕴含存在 f，使得对任意y∈x，都存在＜y,z＞，＜y,z＞∈f 并且 z∈y。它直观的表达出这样一件事：对任意x中的元素y，你都能将y中的一个元素挑出来，哪怕x是无穷集。
?而其更加直观的含义是：每个集合都有基数。在这个前提下下面一条就会变得通用
?五：对任意序数a，a个集合都能构成一个集合。属于是爆杀了对集公理。
?五代替不了幂集公理，因为得不到下一个无穷基数。也代替不了并集公理，在你刚得到 {?n：n∈ω} 的情况下，任意序数都会被一个足够大的阿列夫n大于，现存的所有序数都在阿列夫ω中，你要得到它就需要用阿列夫ω本身，并集公理却可以让你根据 {?n：n∈ω} 就能得到阿列夫ω。
?以 0,1,2,3,……,ω 为起点，V 中的所有集合都可以根据这4条原则揭示出来。
?集合论宇宙就是这么简单。
要得到 ω+1 ={0,1,2,3,……,ω}，并不能直接运用【五】说 ω+1 个元素即 0,1,2,3,……,ω 构成一个集合，此时 ω+1 还不存在。
而是利用对集公理，先得到 {ω}，再得到 {ω，{ω}}，然后用并集公理就是 ω+1 了。以此类推。
五：对任意序数a，a个集合都能构成一个集合。这里的a个集合严格的说是一个由集合构成的a长的序列。序列在集宇宙中就是一个以序数为定义域的双射函数，我们可以很自然的从中获取值域中的集合有被良好排序这一信息。
比如 f(0)=毛毛虫，f(1)=星星，f(2)=铅笔，f(3)=乞丐，…… f 就像是为这些乱七八糟的事物标上了序号一样，形成一种排序。我们也可以用这种方式重新定义有序对，甚至推广。
通常用 ＜S_b：b∈a＞ 表示一个 a 长的序列： S_0，S_1，……
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